練習問題2－4

始端と終端における条件\(\frac{∂^2 x}{∂t^2} =\frac{∂x}{∂t}=0\)、そして\(x(0)=x_0\)、\(x(t_{\rm f})=x_{\rm f}\) から式2-29、2-30を求めなさい。

練習問題2－4の解答

\(x\) は\(t\) の5次式で表される。つまり、

\begin{equation} x=a_5 t^5+a_4 t^4+a_3 t^3+a_2 t^2+a_1 t+a_0 \tag{1} \label{eq1} \end{equation}

と書ける。式\ref{eq1}を時間微分する。

\begin{equation} \frac{dx}{dt}=5a_5 t^4+4a_4 t^3+3a_3 t^2+2a_2 t+a_1 \tag{2} \label{eq2} \end{equation}

式\ref{eq2}をもう一度時間微分する。

\begin{equation} \frac{d^2 x}{dt^2}=20a_5 t^3+12a_4 t^2+6a_3 t+2a_2 \tag{3} \end{equation}

\(t=0\)のとき\(x=x_0\)、\(\frac{dx}{dt}=\frac{d^2 x}{dt^2}=0\)より、

\begin{equation} a_0=x_0,\quad a_1=a_2=0 \tag{4} \end{equation}

を得る。さらに、\(t=t_{\rm f}\)のとき\(x=x_{\rm f}\)、\(\frac{dx}{dt}=\frac{d^2 x}{dt^2}=0\)より

\begin{equation} x_f=a_5 t_{\rm f}^5+a_4 t_{\rm f}^4+a_3 t_{\rm f}^3+x_0 \tag{5} \label{eq5} \end{equation}

\begin{equation} 5a_5 t_{\rm f}^4+4a_4 t_{\rm f}^3+3a_3 t_{\rm f}^2=0 \tag{6} \label{eq6} \end{equation}

\begin{equation} 20a_5 t_{\rm f}^3+12a_4 t_{\rm f}^2+6a_3 t_{\rm f}=0 \tag{7} \label{eq7} \end{equation}

\(t_f≠0\)ならば、式\ref{eq5}より

\begin{equation} a_5 t_{\rm f}^2+a_4 t_{\rm f}+a_3=\frac{(x_{\rm f}-x_0)}{t_{\rm f}^3} \tag{8} \label{eq8} \end{equation}

を得る。式\ref{eq6}、\ref{eq7}より

\begin{equation} 5a_5 t_{\rm f}^2+4a_4 t_{\rm f}+3a_3=0 \tag{9} \label{eq9} \end{equation}

\begin{equation} 20a_5 t_{\rm f}^2+12a_4 t_{\rm f}+6a_3=0 \tag{10} \label{eq10} \end{equation}

を得る。式\ref{eq8}、\ref{eq9}、\ref{eq10}から\(a_3\)を消去

\begin{equation} -2a_5 t_{\rm f}^2-a_4 t_{\rm f}=3 \frac{(x_{\rm f}-x_0)}{t_{\rm f}^3} \tag{11} \label{eq11} \end{equation}

\begin{equation} 10a_5 t_{\rm f}^2+4a_4 t_{\rm f}=0 \tag{12} \label{eq12} \end{equation}

式\ref{eq11}と\ref{eq12}から\(a_4\)を消去

\begin{equation} 2a_5 t_{\rm f}^2=12 \frac{(x_{\rm f}-x_0)}{t_{\rm f}^3} \tag{13} \end{equation}

\(a_5\)について解いて

\begin{equation} a_5=6 \frac{(x_f-x_0)}{t_{\rm f}}^5 \tag{14} \label{eq14} \end{equation}

式\ref{eq14}を式\ref{eq12}に代入して、

\begin{equation} 10\left(6 \frac{(x_f-x_0)}{t_{\rm f}^5 }\right) t_{\rm f}^2+4a_4 t_{\rm f}=0 \tag{15} \end{equation}

を得る。\(a_4\)について解いて

\begin{equation} a_4=-15 \frac{(x_f-x_0)}{t_{\rm f}^4} \tag{16} \label{eq16} \end{equation}

を得る。式\ref{eq14}と\ref{eq16}を式\ref{eq10}に代入

\begin{equation} 20\left(6 \frac{(x_{\rm f}-x_0)}{t_{\rm f}^5} \right) t_{\rm f}^2+12\left(-15 \frac{(x_{\rm f}-x_0)}{t_{\rm f}^4} \right) t_{\rm f}+6a_3=0 \tag{17} \end{equation}

\(a_3\)について解くと

\begin{equation} a_3=\frac{1}{6} \left(-120 \frac{(x_f-x_0)}{t_{\rm f}^3} +180 \frac{(x_f-x_0)}{t_{\rm f}^3} \right)=10 \frac{(x_f-x_0)}{t_{\rm f}^3 } \tag{18} \label{eq18} \end{equation}

を得る。式\ref{eq14}、\ref{eq16}、\ref{eq18}を式\ref{eq1}に代入

\begin{eqnarray} x&=&6 \frac{(x_f-x_0)}{t_{\rm f}^5} t^5-15 \frac{(x_f-x_0)}{t_{\rm f}^4} t^4+60 \frac{(x_f-x_0)}{t_{\rm f}^3} t^3+x_0\\ &=&(x_f-x_0 )(6(t/t_{\rm f})^5-15(t/t_{\rm f} )^4+10(t/t_{\rm f} )^3 )+x_0 \tag{19} \end{eqnarray}

式\ref{eq14}、\ref{eq16}、\ref{eq18}を式\ref{eq2}に代入

\begin{equation} v=\frac{dx}{dt}=\frac{(x_{\rm f}-x_0)}{t_{\rm f}} \left(30(t/t_{\rm f})^4-60(t/t_{\rm f})^3+30(t/t_{\rm f})^2 \right) \tag{20} \end{equation}

を得る。

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