練習問題2-3
\(t=[0, t_{\rm f}]\)の全ての時間で\({\bf Q}={\bf 0}\)が成り立つとき、\({\bf S}={\bf 0}\)も成立することを示しなさい。

練習2-3の解答
まず、終端\(（t=t_{\rm f}\)）において\({\bf S}={\bf 0}\)である。すなわち\({\bf S}(t_{\rm f})={\bf 0}\)
次に、\(t=[0, t_{\bf f}]\)の任意の時刻\(t_1\)において、\({\bf S}={\bf 0}\)であると仮定する。式2-13に\({\bf S}={\bf 0}\)と\({\bf Q}={\bf 0}\)を代入すると

\begin{equation} \dot{\bf S} =-{\bf A}^{\rm T} {\bf S}-{\bf SA}+{\bf SBR}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf S}-{\bf Q}={\bf 0} \tag{1} \end{equation}

したがって\(t\lt t_1\)において、

\begin{equation} {\bf S}={\bf 0} \tag{2} \end{equation}

を得る。この時、式2-13。2‐14、2‐15、2‐16の代わりに

\begin{eqnarray} \dot{\bf U} &=&-{\bf A}^{\rm T} {\bf U} \tag{3}\\ \dot{\bf V}&=&-{\bf VA} \tag{4}\\ \dot{\bf W} &=&{\bf VBR}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf U} \tag{5} \end{eqnarray}

を使えばよい。

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