練習問題2-2
\(t=[0, t_{\rm f}]\)の全ての時間で\({\bf Q}^{\rm T}={\bf Q}\)と\({\bf R}^{\rm T}={\bf R}\)が成り立つとき、\({\bf S}={\bf S}^{\rm T}\)、\({\bf U}={\bf V}^{\rm T}\)、\({\bf W}={\bf W}^{\rm T}\)であることを示しなさい。

練習問題2-2の解答
まず、終端（\(t=t_{\rm f}\)）において\({\bf S}={\bf 0}\) 、\({\bf U}={\bf I}_{\rm n}\)、\({\bf V}={\bf I}_{\rm n}\)、\({\bf W}={\bf 0}\)が成り立つ。したがって、\({\bf S}={\bf S}^{\rm T}\)、\({\bf U}={\bf V}^{\rm T}\)、\({\bf W}={\bf W}^{\rm T}\)が成り立つ。
次に、\(t=[0, t_{\rm f}]\)の任意の時刻\(t_1\)において、\({\bf S}={\bf S}^{\rm T}\)、\({\bf U}={\bf V}^{\rm T}\)、\({\bf W}={\bf W}^{\rm T}\)であると仮定する。式2-13より

\begin{eqnarray} \dot{\bf S}^{\rm T}&=&(-{\bf A}^{\rm T} {\bf S}-{\bf SA}+{\bf SBR}^{-1}{\bf B}^{\rm T} {\bf S}-{\bf Q})^{\rm T}\\ &=&-({\bf A}^{\rm T} {\bf S})^{\rm T}-({\bf SA})^{\rm T}+({\bf SBR}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf S})^{\rm T}+{\bf Q}^{\rm T}\\ &=&-{\bf S}^{\rm T} {\bf A}-{\bf A}^{\rm T} {\bf S}^{\rm T} + {\bf S}^{\rm T} {\bf B}^{\rm T} ({\bf R}^{\rm T} )^{-1} {\bf BS}^{\rm T}+{\bf Q}^{\rm T} \tag{1}\label{eq1} \end{eqnarray}

\({\bf Q}^{\rm T}={\bf Q}\)、\({\bf R}^{\rm T}={\bf R}\)、\({\bf S}^{\rm T}={\bf S}\)より

\begin{eqnarray} \dot{\bf S} ^{\rm T}&=&-{\bf SA}-{\bf A}^{\rm T} {\bf S} + {\bf SB}^{\rm T} {\bf R}^{-1} {\bf BS}+{\bf Q}\\ &=&\dot{\bf S} ̇\tag{2} \label{eq2}\end{eqnarray}

また、式2-14より

\begin{eqnarray} \dot{\bf U} ̇^{\rm T}&=&(-{\bf A}^{\rm T} {\bf U}+{\bf SBR}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf U})^{\rm T}\\ &=&-({\bf A}^{\rm T} {\bf U})^{\rm T}+({\bf SBR}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf U})^{\rm T}\\ &=&{\rm U}^{\rm T} {\bf A}+{\bf U}^{\rm T} {\bf B}({\bf R}^{\rm T} )^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf S}^{\rm T}\\ &=&{\bf U}^{\rm T} {\bf A}+{\bf U}^{\rm T} {\bf BR}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf S}\\ &=&\dot{\bf V} ̇^{\rm T} \tag{3} \label{eq3}\end{eqnarray}

ここで、\({\bf S}={\bf S}^{\rm T}\)を使った。さらに、式2-16より

\begin{eqnarray} \dot{\bf W} ̇^{\rm T}&=&({\bf VBR}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf U})^{\rm T}\\ &=&{\bf U}^{\rm T} {\bf B}({\bf R}^{\rm T} )^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf V}^{\bf T}\\ &=&{\bf VBR}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf U}\\ &=&\dot{\bf W} ̇\tag{4}\label{eq4} \end{eqnarray}

ここで、\({\bf Q}^{\rm T}={\bf Q}\)、\({\bf R}^{\rm T}={\bf R}\)、\({\bf S}^{\rm T}={\bf S}\)を使った。

式\ref{eq2}、\ref{eq3}、\ref{eq4}より、\(t\lt t_1\)において、\({\bf S}={\bf S}^{\rm T}\)、\({\bf U}={\bf V}^{\rm T}\)、\({\bf W}={\bf W}^{\rm T}\)が成り立つ。

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