練習問題2-1の解答

練習問題2-1

式2-9と2-10で定義される線形状態モデルの躍度最小解が手順1-3で得られることを示しなさい。また、式2-18で得られた時間プロファイルが初期状態と終端状態を満たすことを示しなさい。

練習2-1の解答

状態(運動)方程式は

\begin{equation} \dot{\bf z} = {\bf Az}+{\bf Bu} \tag{1} \label{eq1}\end{equation}

で与えられる。オイラー・ラグランジュ方程式は式2-13と2-14より、

\begin{equation} \dot{\bf λ} =-{\bf Qz}-{\bf A}^{\rm T} {\bf λ} \tag{2} \label{eq2}\end{equation} \begin{equation} {\bf R}^{\rm T} {\bf u}+{\bf B}^{\rm T} {\bf λ}={\bf 0} \tag{3} \label{eq3}\end{equation}

と与えられる。これら3つの方程式を連立して解く。未知数は\({\bf z}(t)∈\Re^{\rm n}\)、\({\bf u}(t)∈\Re^{\rm m}\)、\({\bf λ}(t)∈\Re^{\rm n}\)でその数は\(2n+m\)個である。一方、方程式の数は式\ref{eq1}が\(n\)本、式\ref{eq2}が\(n\)本、式\ref{eq3}が\(m\)本で全部で\(2n+m\)本存在する。したがって、未知数が方程式の数と一致する。

ここで、\({\bf λ}(t)\)と\({\bf z}(t_{\rm f})\)を\({\bf z(t)}\)と\({\bf ν}\)の線形結合で表す。つまり、

\begin{equation} {\bf λ}(t)={\bf S}(t){\bf z}(t)+{\bf U}(t){\bf ν}\label{eq4} \tag{4} \end{equation}

\begin{equation} {\bf z}(t_{\rm f})={\bf V}(t){\bf z}(t)+{\bf W}(t){\bf ν}={\bf z}_{\rm f} \tag{5}\label{eq5} \end{equation}

とする。ここで、

\begin{equation} {\bf S}(t_{\rm f})={\bf 0},\quad {\bf U}(t_{\rm f})={\bf I}_{n},\quad {\bf V}(t_{\rm f})={\bf I}_{n},\quad {\bf W}(t_{\rm f})={\bf 0} \tag{6} \label{eq6}\end{equation}

とする。これらを式\ref{eq4}に代入すると

\begin{equation} {\bf ν}={\bf λ}(t_{\rm f}) \tag{7} \end{equation}

を得る。

次に、式\ref{eq2}に式\ref{eq4}を代入すると

\begin{equation} \dot{\bf λ} =\dot{\left({\bf S}(t){\bf z}(t)+{\bf U}(t){\bf ν}) \right)} =-{\bf Qz}(t)-{\bf A}^{\rm T} \left({\bf S}(t){\bf z}(t)+{\bf U}(t){\bf ν}\right) \tag{8} \end{equation}

を得る。したがって、

\begin{equation} \dot{\bf S} ̇{\bf z}+{\bf S}\dot{\bf z} +\dot{\bf U} {\bf ν}=-{\bf Qz}-{\bf A}^{\rm T} ({\bf Sz}+{\bf Uν}) \tag{9}\label{eq9} \end{equation}

となる。式\ref{eq9}に式\ref{eq1}を代入する。

\begin{equation} \dot{\bf S} {\bf z}+{\bf S}({\bf Az}+{\bf Bu})+\dot{\bf U} {\bf ν}=-{\bf Qz}-{\bf A}^{\rm T} ({\bf Sz}+{\bf Uν}) \tag{10} \label{eq10}\end{equation}

一方、式\ref{eq3}より \begin{equation} {\bf Ru}+{\bf B}^{\rm T} {\bf λ}={\bf 0} \tag{11} \end{equation}

である。これを\({\bf u}\)について解いて、式\ref{eq4}を代入する。

\begin{eqnarray} {\bf u}&=&-{\bf R}^{-1} {\bf B}^{\rm T}{\bf λ}\\ &=&-{\bf R}^{-1} {\bf B}^{\rm T} ({\bf Sz}+{\bf Uν}) \tag{12} \label{eq12}\end{eqnarray}

式\ref{eq10}に式\ref{eq12}を代入すると、

\begin{equation} \dot{\bf S} {\bf z}+{\bf SAz}-{\bf SBR}^{-1} {\bf B}^{\rm T} ({\bf Sz}+{\bf Uν})+\dot{\bf U} {\bf ν}+({\bf Q}+{\bf A}^{\rm T} {\bf S}){\bf z}+{\bf A}^{\rm T} {\bf Uν}={\bf 0} \tag{13} \end{equation}

\begin{eqnarray} &&\left(\dot{\bf S} +{\bf A}^{\rm T} {\bf S}+{\bf SA-SBR}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf S}+{\bf Q}\right){\bf z}\\ &+&\left(\dot{\bf U} +{\bf A}^{\rm T} {\bf U}-{\bf SBR}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf U}\right){\bf ν}={\bf 0} \tag{14} \label{eq14}\end{eqnarray}

を得る。任意の\({\bf z}\)と\({\bf ν}\)で式\ref{eq14} が成立するために、

\begin{equation} \dot{\bf S} +{\bf A}^{\rm T} {\bf S}+{\bf SA-SBR}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf S}+{\bf Q}={\bf 0} \tag{15} \end{equation} と \begin{equation} \dot{\bf U} +{\bf A}^{\rm T} {\bf U}-{\bf SBR}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf U}={\bf 0} \tag{16} \end{equation}

が成り立つ必要がある。

一方、式\ref{eq5}の両辺を微分すると、

\begin{equation} \dot{\bf V}{\bf z}+{\bf Vz} ̇+\dot{\bf W} {\bf ν}={\bf 0} \tag{17} \label{eq17}\end{equation}

を得る。式\ref{eq17}に式\ref{eq1}を代入する。

\begin{equation} \dot{\bf V} {\bf z}+{\bf V}({\bf Az}+{\bf Bu})+\dot{\bf W} {\bf ν}={\bf 0} \tag{18} \end{equation}

さらに、式\ref{eq12}を代入する。

\begin{equation} \dot{V} {\bf z}+{\bf VAz}-{\bf VBR}^{-1} {\bf B}^{\rm T} ({\bf Sz}+{\bf Uν})+\dot{\bf W} {\bf ν}={\bf 0} \tag{19} \end{equation} \begin{equation} ({\bf V} ̇+{\bf VA}-{\bf VBR}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf S}){\bf z}+(\dot{\bf W} -{\bf VBR}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf U}){\bf ν}={\bf 0} \tag{20}\label{eq20}\end{equation}

任意の\({\bf z}\)と\({\bf ν}\)で式\ref{eq20} が成立するためには、

\begin{equation} \dot{\bf V} +{\bf VA}-{\bf VBR}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf S}={\bf 0} \tag{21} \end{equation} と \begin{equation} \dot{\bf W} -{\bf VBR}^{-1}{\bf B}^{\rm T} {\bf U}={\bf 0} \tag{22} \end{equation}

が成り立つ必要がある。

ここで、式\ref{eq5}に\(t=0\)を代入する。

\begin{equation} {\bf V}(0){\bf z}(0)+{\bf W}(0){\bf ν}={\bf z}_{\rm f} \tag{23} \end{equation}

\({\bf ν}\)について解くと

\begin{eqnarray} {\bf ν}&=& -{\bf W}(0)^{-1} \left({\bf V}(0){\bf z}(0)-{\bf z}_{\rm f} \right)\\ &=&-{\bf W}(0)^{-1} \left({\bf V}(0){\bf z}_0-{\bf z}_{\rm f} \right) \tag{24} \end{eqnarray}

を得る。 一方、式\ref{eq5}を\({\bf z}(t)\)について解く。

\begin{equation} {\bf z}(t)=-{\bf V}(t)^{-1} \left({\bf W}(t){\bf ν}-{\bf z}_{\rm f} \right) \tag{25} \end{equation}

\(t=t_{\rm f}\)を代入して、\({\rm V}(t_{\rm f}){\bf V}(t_{\rm f})^{-1}={\bf I}_{n}\)、\({\bf W}(t_{\rm f})={\bf 0}\)に注意すると、

\begin{equation} {\bf z}(t_{\rm f})=-{\bf I}_{n} ({\bf 0ν}-{\bf z}_{\rm f} )={\bf z}_{\rm f} \tag{26} \end{equation}

つまり、終端条件\({\bf z}(t_{\rm f})={\bf z}_{\rm f}\)

が成立していることが確認された。

また、\(t=0\)を代入して、式\ref{eq6}を考慮すると

\begin{eqnarray} {\bf z}(0)&=&-{\bf V}(0)^{-1} ({\bf W}(0)(-{\bf W}(0)^{-1} ({\bf V}(0){\bf z}_0-{\bf z}_{\rm f} ))-{\bf z}_{\rm f} ) \\ &=&-{\bf V}(0)^{-1} (-{\bf W}(0){\bf W}(0)^{-1} ({\bf V}(0){\bf z}_0-{\bf z}_{\rm f} )-{\bf z}_{\rm f} )\\ &=&-{\bf V}(0)^{-1} (-({\bf V}(0){\bf z}_0-{\bf z}_{\rm f} )-{\bf z}_{\rm f} ) \\ &=&-{\bf V}(0)^{-1} (-{\bf V}(0){\bf z}_0+{\bf z}_{\rm f}-{\bf z}_{\rm f} )\\ &=&{\rm z}_0 \tag{27} \end{eqnarray}

つまり、初期条件\({\bf z}(0)={\bf z}_0\)が成立していることが確認された。

 

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