練習問題3.5解答
練習問題3.5
式85と87を仮定して、式88-91を求めなさい。
練習問題3.5解答
式85と87より
\begin{equation}
κ=κ_0 e^{αθ} \tag{1}\label{eq1}
\end{equation}
\begin{equation}
v=v_0 e^{-2αθ/3}\tag{2}\label{eq2}
\end{equation}
曲率の定義により
\begin{equation}
\frac{dθ}{ds}=κ\tag{3}\label{eq3}
\end{equation}
式\ref{eq1}を式\ref{eq3}に代入すると
\begin{equation}
1=\frac{e^{-αθ}}{κ_0} \frac{dθ}{ds} \tag{4}
\end{equation}
となるので、両辺を積分すると
\begin{eqnarray}
s&=&\frac{1}{κ_0}\int_0^θe^{-αθ_1}dθ_1\\
&=&\frac{1}{ακ_0}\left[e^{-αθ_1}\right]_0^θ\\
&=&\frac{1}{ακ_0}\left(1-e^{-αθ}\right)\tag{5}\label{eq5}
\end{eqnarray}
を得る。また、
\begin{eqnarray}
v&=&\frac{ds}{dθ}\frac{dθ}{dt}\tag{6}\\
&=&\frac{1}{κ}\frac{dθ}{dt}
\end{eqnarray}
式\ref{eq2}を代入して整理すると
\begin{equation}
e^{-αθ/3}\frac{dθ}{dt}=v_0 κ_0 \tag{7}\label{eq7}
\end{equation}
を得る。式\raf{7}の両辺を積分すると、
\begin{equation}
-\frac{3}{α}\int_0^θe^{-αθ_1/3)}dθ_1=κ_0 v_0 \int_0^tdt_1 \tag{8}
\end{equation}
となり、
\begin{equation}
e^{-αθ/3}=-\frac{κ_0 v_0 α}{3}t+1 \tag{9}
\end{equation}
を得る。式\ref{9}を\(θ\)について解けば、
\begin{equation}
θ=-\frac{3}{α} ln\left(-\frac{κ_0 v_0 α}{3} t+1\right) \tag{10}
\end{equation}
を得る。式5に式10を代入すると、
\begin{eqnarray}
s&=&\frac{1}{ακ_0}\left(1-e^{-αθ} \right)\\
&＝&\frac{1}{ακ_0} \left(1-{\rm exp}\left(3{\rm ln}\left(-\frac{κ_0 v_0 α)}{3} t+1\right)\right)\right)\\
&=&\frac{1}{ακ_0} \left(1-\left(-\frac{κ_0 v_0 α}{3} t+1\right)^3 \right) \tag{11}
\end{eqnarray}
を得る。したがって、
\begin{eqnarray}
κ&=&κ_0 e^{αθ}\\
&=&κ_0 {\rm exp}\left(-3{\rm ln}\left(-\frac{κ_0 v_0 α}{3} t+1\right)\right) \\
&=&κ_0 \left(-\frac{κ_0 v_0 α}{3} t+1\right)^{-3} \tag{12}
\end{eqnarray}
と計算できる。さらに、
\begin{eqnarray}
κ’=\frac{dκ}{ds}&=&\frac{dκ}{dt} \frac{dt}{ds}\\
&=&\frac{dκ}{dt} \left(\frac{ds}{dt}\right)^{-1} \tag{13}
\end{eqnarray}
であり、
\begin{eqnarray}
\frac{dκ}{dt}&=&\frac{d}{dt} \left(κ_0 \left(-\frac{κ_0 v_0 α}{3} t+1\right)^{-3} \right)\\
&=&3κ_0 \frac{κ_0 v_0 α}{3} \left(\left(-\frac{κ_0 v_0 α}{3} t+1\right)^{-4}\right)\\
&=&κ_0^2 v_0 α\left(-\frac{κ_0 v_0 α}{3} t+1\right)^{-4} \tag{15}
\end{eqnarray}
\begin{equation}
\frac{ds}{dt}=v=v_0 \left(-\frac{κ_0 v_0 α)}{3} t+1\right)^2 \tag{16}
\end{equation}
なので、
\begin{eqnarray}
κ’&=&κ_0^2 v_0 α\left(-\frac{κ_0 v_0 α}{3} t+1\right)^{-4} \left(v_0 \left(-\frac{κ_0 v_0 α}{3} t+1\right)^2 \right)^{-1}\\
&=&κ_0^2 α\left(-\frac{κ_0 v_0 α}{3} t+1\right)^{-6} \tag{17}
\end{eqnarray}
を得る。さらに、
\begin{eqnarray}
a(θ)&=&d\frac{v}{dt}\\
&=&\frac{d}{dt} \left(v_0 \left(-\frac{κ_0 v_0 α}{3} t+1\right)^2 \right)\\
&=&2v_0 \left(-\frac{κ_0 v_0 α}{3}\right)\left(-\frac{κ_0 v_0 α}{3} t+1\right)\\
&=&-\frac{2κ_0 v_0^2 α}{3} \left(-\frac{κ_0 v_0 α}{3} t+1\right) \tag{18}
\end{eqnarray}
を得る。
\begin{eqnarray}
κ’ v^3+3κva&=&κ_0^2 α\left(-\frac{κ_0 v_0 α}{3} t+1\right)^{-6} \left(v_0 \left(-\frac{κ_0 v_0 α}{3} t+1\right)^2 \right)^3\\
&&+3κ_0 \left(-\frac{κ_0 v_0 α}{3} t+1\right)^{-3} v_0 \left(-\frac{κ_0 v_0 α}{3} t+1\right)^2 \\
&\times&\left(-\frac{2κ_0 v_0^2 α}{3} \left(-\frac{κ_0 v_0 α}{3} t+1\right)\right) \\
&=&κ_0^2 v_0^3 α+3κ_0 v_0 \left(-\frac{2κ_0 v_0^2 α}{3}\right)\\
&=&κ_0^2 v_0^3 α-2κ_0^2 v_0^3α\\
&=&-κ_0^2 v_0^3 α \tag{19}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\dot{a}-κ^2 v^3&=&\frac{d}{dt} \left(-\frac{2κ_0 v_0^2 α}{3} \left(-\frac{κ_0 v_0 α}{3} t+1\right)\right)\\
&&-\left(κ_0 \left(-\frac{κ_0 v_0 α}{3} t+1\right)^{-3} \right)^2 \left(v_0 \left(-\frac{κ_0 v_0 α}{3} t+1\right)^2 \right)^3\\
&=&-\frac{2κ_0 v_0^2 α}{3} \left(-\frac{κ_0 v_0 α}{3}\right)-κ_0^2 v_0^3\\
&=&\frac{4}{9} α^2 κ_0^2 v_0^3-κ_0^2 v_0^3 \\
&=&\left(\frac{4}{9} α^2-1\right) κ_0^2 v_0^3 \tag{20}
\end{eqnarray}
より、
\begin{eqnarray}
\frac{d^3 x}{dt^3 }&=&\left(κ’ v^3+3κva\right){\bf n}+\left(a-κ^2 v^3 \right){\bf t}\\
&=&-κ_0^2 v_0^3 α{\bf n}+\left(\frac{4}{9} α^2-1\right) κ_0^2 v_0^3 {\bf t} \tag{21}
\end{eqnarray}
を得る。
t=0のとき、
\begin{equation}
κ(0)=κ_0 \tag{22}
\end{equation}
\begin{equation}
s(0)=0 \tag{23}
\end{equation}
\begin{equation}
v(0)=v_0 \tag{24}
\end{equation}
\begin{equation}
a(0)=-\frac{2κ_0 v_0^2 α}{3} \tag{25}
\end{equation}
が成り立つ。さらに、\(t=t_{\bf f}\)のとき
\begin{equation}
θ_{\rm f}=-\frac{3}{α} {\rm ln}\left(-\frac{κ_0 v_0 α}{3} t_{\rm f}+1\right) \tag{26}
\end{equation}
\begin{equation}
s_{\rm f}=s(θ_{\rm f} )=\frac{v_0 t_{\rm f}}{3} \left(\left(-\frac{κ_0 v_0 α}{3} t_{\rm f} +1\right)^2+\left(-\frac{κ_0 v_0 α}{3} t_{\rm f}+1 \right)+1\right) \tag{27}
\end{equation}
\begin{equation}
v(θ_{\rm f} )=v_0 \left(-\frac{κ_0 v_0 α}{3} t_{\rm f}+1\right)^2 \tag{28}
\end{equation}
\begin{equation}
a(θ_{\rm f} )=-\frac{2κ_0 v_0^2 α}{3} \left(-\frac{κ_0 v_0 α}{3} t_{\rm f}+1\right) \tag{29}
\end{equation}
が成り立つ。したがって、
\begin{equation}
{\bf z}_0=(0\quad v_0\quad –2\frac{κ_0 v_0^2 α}{3})^{\rm T} \tag{30}
\end{equation}
\begin{equation}
z_{\rm f}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{v_0 t_f}{3} \left(\left(\frac{κ_0 v_0 α}{3} t_{\rm f} \right)^2-3\left(\frac{κ_0 v_0 α}{3} t_{\rm f} \right)+3\right)\\
v_0 \left(-\frac{κ_0 v_0 α}{3} t_{\rm f}+1\right)^2\\
-\frac{2κ_0 v_0^2 α}{3} \left(-\frac{κ_0 v_0 α}{3} t+1\right)
\end{array}
\right) \tag{31}
\end{equation}
を得る。
科学はひとつ 宇宙物理学者による知的挑戦の記録
戎崎俊一 著
学而図書／四六判 並製320頁／本体2,400円＋税
12年にわたり「戎崎の科学は一つ」で執筆されてきた記事を精選し、「地震と津波防災」など全9章に再編。すべての章に著者書き下ろしの解説を加えて集成した一冊。
