練習問題3.3解答
練習問題3.3
曲線Sが対数螺旋のとき、曲率が式85で与えられることを示しなさい。
練習問題3.3解答
曲線Sが対数螺旋の場合、曲線Sは、
\begin{equation}
h=(r_0e^{aθ}{\rm cos}θr_0\quad e^{aθ}{\rm sinθ})^{\rm T} \tag{1}
\end{equation}
で定義される。ここで、\(θ\)は螺旋の中心から見た角度である。曲線Sに沿った距離を\(s\)とすると、
\begin{eqnarray}
ds&=&\sqrt{dx^2+dy^2}\\
&=&r_0 \sqrt{(ae^{aθ} {\rm cos}θ-e^{aθ} {\rm sinθ})^2+(ae^{aθ} {\rm sinθ}+e^{aθ} {\rm cosθ})^2 }\\
&=&r_0 e^{aθ} \sqrt{(a^2 ({\rm cos}^2 θ+{\rm sin}^2 θ)+({\rm sin}^2 θ+{\rm cos}^2 θ) }\\
&=&r_0 \sqrt{1+a^2}e^{aθ}dθ \tag{2}
\end{eqnarray}
と計算できる。つまり
\begin{equation}
\frac{ds}{dθ}=r_0 \sqrt{1+a^2} e^{aθ} \tag{3}
\end{equation}
を得る。曲率の定義により
\begin{eqnarray}
κ&=&\frac{dθ}{ds}\\
&=&\left(\frac{ds}{dθ}\right)^{-1}\\
&=&\frac{1}{r_0 \sqrt{1+a^2}} e^{-aθ} \tag{4}
\end{eqnarray}
となる。
\begin{equation}
κ_0=\frac{1}{r_0 \sqrt{1+a^2}} \tag{5}
\end{equation}
\begin{equation}
α=-a \tag{6}
\end{equation}
と置けば、式85を得る。
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