練習問題3.4の解答
練習問題3.4
対数螺旋のとき、躍度最小解において\(v∝κ^{-2/3}\)が成り立つことを示しなさい。
練習問題3.4の解答
時間間隔を\(t_f\)に制限したとき、躍度ベクトルの接線成分の時間積分を最小とする評価関数は、
\begin{eqnarray}
J&＝&\int_0^{t_{\rm f}}\left(\frac{da}{dt}-κ^2 v^3\right)^2 dt+λ\left(\int_0^{t_{\rm f}}dt-t_{\rm f} \right)\\
&=&\int_0^{t_{\rm f}}\left(\left(\frac{da}{dt}-κ^2 v^3 \right)^2+λ\right)dt-λt_{\rm f} \tag{1}
\end{eqnarray}
と表せる。ここで\(λ\)はラグランジュの未定乗数である。
\begin{equation}
dt=\frac{1}{κv} dθ \tag{2}
\end{equation}
を使って積分変数を角度\(θ\)に変えると
\begin{equation}
J＝\int_0^{θ_{\rm f}}\left(\left(\frac{da}{dt}-κ^2 v^3 \right)^2+λ\right) \frac{1}{κv} dθ-λt_{\rm f} \tag{3}\label{eq3}
\end{equation}
となる。
\begin{equation}
h={\rm ln} \frac{κ}{κ_0},\quad z={\rm ln} \frac{v}{v_0} \tag{4}
\end{equation}
と置くと
\begin{equation}
\dot{κ}=\frac{dκ}{dθ}=κ\dot{h},\quad \dot{v}=\frac{dv}{dθ}=v\dot{z} \tag{5}
\end{equation}
となる。また、
\begin{eqnarray}
\dot{z}&=&\frac{dz}{dθ}\\
&=&\frac{1}{v}\frac{dv}{dθ}
\\&=&\frac{1}{v}\frac{dv}{dt}\frac{dt}{dθ}\\&=&\frac{1}{v} a \frac{dt}{dθ}\\&=&\frac{a}{κv^2} \tag{6}
\end{eqnarray}
さらに
\begin{eqnarray}
\stackrel{..}{z}&=&\frac{d^2 z}{dθ^2}\\
&=&\frac{d}{dθ} \left(\frac{a}{κv^2}\right)\\
&=&\frac{\dot{a}}{κv^2}-\frac{a\dot{κ}}{κ^2 v^2}-2 \frac{a\dot{v}}{κv^3}\\
&=&\frac{da}{dt}\frac{dt}{dθ}\frac{1}{κv^2}-\frac{a}{κ^2 v^2}\frac{dκ}{dθ}-2\frac{a}{κv^3}\dot{v}\\
&=&\frac{da}{dt}\frac{1}{κv}\frac{1}{κv^2}-\frac{κv^2 \dot{z}}{κ^2 v^2} κ\dot{h} -2 \frac{κv^2 \dot{z}}{κv^3}v\dot{z} \\
&=&\frac{da}{dt}\frac{1}{κ^2 v^3}-\dot{z}\dot{h}-2\dot{z}^2 \tag{7}
\end{eqnarray}
を得る。すなわち、
\begin{equation}
\frac{da}{dt}=κ^2 v^3 (\stackrel{..}{z} +\dot{z}\dot{h}+2\dot{z}^2 ) \tag{8}\label{eq8}
\end{equation}
となる。式\ref{eq8}を式\ref{eq3}に代入すると、
\begin{equation}
J＝\int_0^{θ_{\rm f}}\left(κ^4 v^6 \left((\stackrel{..}{z}+\dot{z}\dot{h} +2\dot{z}^2 )-1\right)^2+λ\right) \frac{1}{κv} dθ-λt_{\rm f} \tag{9}
\end{equation}
となる。したがってラグランジュアン\(L\)は
\begin{equation}
L＝\left(κ^4 v^6\left((\stackrel{..}{z}+\dot{z}\dot{h} +2\dot{z}^2 -1\right)^2+λ\right)\frac{1}{κv} \tag{10}\label{eq10}
\end{equation}
となる。オイラー・ラグランジュ方程式は
\begin{equation}
0=\frac{∂L}{∂z}-\frac{d}{dθ} \left(\frac{∂L}{∂\dot{z}}\right)+\frac{d^2}{dθ^2} \left(\frac{∂L}{∂\stackrel{..}{z}}\right) \tag{11}\label{eq11}
\end{equation}
と書ける。対数螺旋の場合、
\begin{equation}
κ=κ_0 e^{aθ},\quad v=v_0 e^{kaθ} \tag{12}
\end{equation}
と書ける。したがって、
\begin{equation}
h=aθ+{\rm ln} κ_0,\quad z=kaθ+{\rm ln} v_0 \tag{13}
\end{equation}
\begin{equation}
\dot{h}=a,\quad \dot{z}=ka \tag{14}\label{eq14}
\end{equation}
\begin{equation}
\stackrel{..}{h}=0,\quad \stackrel{..}{z}=0 \tag{15}\label{eq15}
\end{equation}
を得る。まず、式\ref{eq11}の右辺第一項は、式\ref{eq14}、\ref{eq15}を使って
\begin{eqnarray}
\frac{∂L}{∂z}&=&\frac{∂}{∂z}\left(κ^3 v^5 \left(\stackrel{..}{z}+\dot{z}\dot{h}+2\dot{z}^2-1\right)^2+\frac{λ}{κv} \right)\\
&=&5κ^3 v^5 \left(\stackrel{..}{z}+\dot{z}\dot{h}+2\dot{z}^2-1\right)^2-\frac{λ}{κv} \\
&=&5κ^3 v^5 (ka^2+2k^2 a^2-1)^2-\frac{λ}{κv} \\
&=&5κ^3 v^5 \left(-1+a^2 (k+2k^2 )\right)^2-\frac{λ}{κv}\\
&=&5κ^3 v^5 \left(1-2a^2 (k+2k^2 )+a^4 (k+2k^2 )^2 \right)-\frac{λ}{κv} \\
&=&5κ^3 v^5 \left(1+a^2 (-2k-4k^2 )+a^4 (k^2+4k^3+4k^4 )\right)-\frac{λ}{κv} \\
&=&κ^3 v^5 \left(5+a^2 (-10k-20k^2 )+a^4 (5k^2+20k^3+20k^4 )\right)-\frac{λ}{κv} \tag{16}\label{eq16}
\end{eqnarray}
と計算できる。次に、式\ref{eq11}の右辺第二項を計算する。
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dθ} \left(\frac{∂L}{∂\dot{z}}\right)&=&\frac{d}{dθ} \left(\frac{∂}{∂\dot{z}} \left(κ^3 v^5 (\stackrel{..}{z}+\dot{z}\dot{h}+2\dot{z}^2-1)^2+\frac{λ}{κv}\right)\right)\\
&=&\frac{d}{dθ}\left(κ^3 v^5 \frac{∂}{∂\dot{z}} (\stackrel{..}{z}+\dot{z}\dot{h}+2\dot{z}^2-1)^2 \right)\\
&=&\frac{d}{dθ}\left(2κ^3 v^5 (\dot{h}+4\dot{z})(\stackrel{..}{z}+\dot{z}\dot{h}+2\dot{z}^2-1)\right)\\
&=&2κ^3 v^5 \left(3\dot{h}(\dot{h}+4\dot{z})(\stackrel{..}{z}+\dot{z}\dot{h}+2\dot{z}^2-1)\right.\\
&&+5\dot{z}(\dot{h}+4\dot{z})(\stackrel{..}{z}+\dot{z}\dot{h}+2\dot{z}^2-1)\\
&&+(\stackrel{..}{h}+4\stackrel{..}{z})(z ̈+z ̇h ̇+2z ̇^2-1)\\
&&\left.+2(\dot{h}+4\dot{z})(\stackrel{…}{z}+\dot{z}\stackrel{..}{h}+\stackrel{..}{z}\dot{h}+4\dot{z}\stackrel{..}{z})\right)\tag{17}\label{eq17}
\end{eqnarray}
式\ref{eq17}に式\ref{eq14}、\ref{eq15}を代入すると、
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dθ} \left(\frac{∂L}{∂\dot{z}}\right)
&=&2κ^3 v^5 \left(3a(a+4ka)(ka^2+2k^2 a^2-1)\right.\\
&&\left.+5ka(a+4ka)(ka+2k^2 a^2-1)\right)\\
&=&2κ^3 v^5 a^2 (3+5k)(1+4k)(ka^2+2k^2 a^2-1)\\
&=&2κ^3 v^5 a^2 (3+5k)(1+4k)(-1+a^2 (k+2k^2 ))\\
&=&2κ^3 v^5 a^2 (3+5k)(-1-4k+a^2 (1+4k)(k+2k^2 ))\\
&=&2κ^3 v^5 a^2 (-3-17k-20k^2\\
&&+a^2 (3+5k)(k+6k^2+8k^3 ))\\
&=&2κ^3 v^5 a^2 (-3-17k-20k^2\\
&&+a^2 (3k+18k^2+24k^3+5k^2+30k^3+40k^4 ))\\
&=&2κ^3 v^5 a^2 (-3-17k-20k^2\\
&&+a^2 (3k+23k^2+54k^3+40k^4 ))\\
&=&κ^3 v^5 a^2 (-6-34k-40k^2\\
&&+a^2 (6k+46k^2+108k^3+80k^4 ))\\
&=&κ^3 v^5 (a^2 (-6-34k-40k^2 )\\
&&+a^4 (6k+46k^2+108k^3+80k^4 )) \tag{18}\label{eq18}
\end{eqnarray}
を得る。最後に式11の右辺第三項を計算する。
\begin{eqnarray}
\frac{d^2}{dθ^2}\left(\frac{∂L}{∂\stackrel{..}{z}}\right)&=&\frac{d^2}{dθ^2}\left(\frac{∂}{∂\stackrel{..}{z}} \left((κ^3 v^5 (\stackrel{..}{z}+\dot{z}\dot{h}+2\dot{z}^2-1)^2+\frac{λ}{κv}\right)\right)\\
&=&\frac{d^2}{dθ^2}\left(κ^3 v^5 \frac{∂}{∂\stackrel{..}{z}} (\stackrel{..}{z}+\dot{z}\dot{h}+2\dot{z}^2-1)^2\right)\\
&=&\frac{d^2}{dθ^2}\left(2κ^3 v^5 (\stackrel{..}{z}+\dot{z}\dot{h}+2\dot{z}^2-1)\right)\\
&=&\frac{d^2}{dθ^2} \left(2κ^3 v^5 (\stackrel{..}{z}+\dot{z}\dot{h}+2\dot{z}^2-1)\right)\\
&=&2κ^3 v^5 \left(9\dot{h}^2 (\stackrel{..}{z}+\dot{z}\dot{h}+2\dot{z}^2-1)+15\dot{h}\dot{z} ̇(\dot{z}\dot{h}+2\dot{z}^2-1)\right.\\
&&+3\stackrel{..}{h}(\stackrel{..}{z}+\dot{z}\dot{h}+2\dot{z}^2-1)+3\dot{h}(\stackrel{…}{z}+\stackrel{..}{z}\dot{h}+\dot{z}\stackrel{..}{h}+4\dot{z}\stackrel{..}{z})\\
&&+15\dot{h}\dot{z}(\stackrel{..}{z}+\dot{z}\dot{h}+2\dot{z}^2-1+\dot{z}\dot{h}+2\dot{z}^2-1)\\
&&+25\dot{z}^2 (\stackrel{..}{z}+\dot{z}\dot{h}+2\dot{z}^2-1)+5\stackrel{..}{z}(\stackrel{..}{z}+\dot{z}\dot{h}+2\dot{z}^2-1)\\
&&+5\dot{z}(\stackrel{…}{z}+\stackrel{..}{z}\dot{h}+\dot{z}\stackrel{..}{h}+4\dot{z}\stackrel{..}{z})\\
&&+3\dot{h}(\stackrel{…}{z}+\stackrel{..}{z}\dot{h}+\dot{z}\stackrel{..}{h}+4\dot{z}\stackrel{..}{z})\\
&&+5\dot{z} (\stackrel{…}{z}+\stackrel{..}{z}\dot{h}+\dot{z}\stackrel{..}{h}+4\dot{z}\stackrel{…}{z}+\stackrel{..}{z}\dot{h} ̇+\dot{z}\stackrel{..}{h}+4\dot{z}\stackrel{..}{z})\\
&&\left.+(\stackrel{….}{z}+\stackrel{…}{z}\dot{h}+2\stackrel{..}{z}\stackrel{…}{h}+\dot{z}\stackrel{…}{h}+4\stackrel{…}{z}^2+4\dot{z}\stackrel{…}{z})\right)
\tag{19}\label{eq19}\end{eqnarray}
を得る。式\ref{eq19}に、式\ref{eq14}、\ref{eq15}を代入する。
\begin{eqnarray}
\frac{∂L}{∂\stackrel{..}{z}}
&=&2κ^3 v^5 (9a^2 (ka^2+2k^2 a^2-1)+15ka^2 (ka^2+2k^2 a^2-1)\\
&&+15ka^2 (ka^2+2k^2 a^2-1)+25k^2 a^2 (ka^2+2k^2 a^2-1))\\
&=&2κ^3 v^5 (9a^2+30ka^2+25k^2 a^2 )(ka^2+2k^2 a^2-1) \\
&=&2κ^3 v^5 a^2 (3+5k)^2 (-1+a^2 (k+2k^2 )) \\
&=&2κ^3 v^5 a^2 (9+30k+25k^2 )(-1+a^2 (k+2k^2 )) \\
&=&2κ^3 v^5 a^2 (-9-30k-25k^2+a^2 (9+30k+25k^2 )(k+2k^2 )) \\
&=&2κ^3 v^5 a^2 (-9-30k-45k^2\\
&&+a^2 (9k+30k^2+25k^3+18k^2+60k^3+50k^4 )) \\
&=&2κ^3 v^5 a^2 (-9-30k-25k^2+a^2 (9k+48k^2+85k^3+50k^4 )) \\
&=&κ^3 v^5 (a^2 (-18-60k-50k^2 )\\
&&+a^4 (18k+96k^2+170k^3+100k^4 )) \tag{20}\label{eq20}
\end{eqnarray}
式\ref{eq11}に式\ref{eq16}、\ref{eq18}、\ref{eq20}を代入すると、
\begin{eqnarray}
0&=&\frac{∂L}{∂z}-\frac{d}{dθ}\left(\frac{∂L}{∂\dot{z}}\right)+\frac{d^2}{dθ^2} \left(\frac{∂L}{∂\stackrel{..}{z}}\right)\\
&=&κ^3 v^5 (5+a^2 (-10k-20k^2 )+a^4 (5k^2+20k^3+20k^4 ))-\frac{λ}{κv}\\
&&-2κ^3 v^5 a^2 (a^2 (-6-34k-40k^2 )+a^4 (6k+46k^2+108k^3+80k^4 ))\\
&&+κ^3 v^5 (a^2 (-18-60k-50k^2 )+a^4 (18k+96k^2+170k^3+100k^4 ))\tag{21}
\end{eqnarray}
を得る。したがって、
\begin{eqnarray}
λ&=&κ^4 v^6 \left((5+a^2 (-10k-20k^2 )+a^4 (5k^2+20k^3+20k^4 ))\right.\\
&&-(a^2 (-6-34k-40k^2 )+a^4 (6k+46k^2+108k^3+80k^4 ))\\
&&\left.+(a^2 (-18-60k-50k^2 )+a^4 (18k+96k^2+170k^3+100k^4 ))\right)\\
&=&κ^4 v^6 \left((5+a^2 (-10k-20k^2 )+a^2 (6+34k+40k^2 )\right.\\
&&+a^2 (-18-60k-50k^2 )+a^4 (5k^2+20k^3+20k^4 ))\\
&&\left.-a^4 (6k+46k^2+108k^3+80k^4 )+a^4 (18k+96k^2+170k^3+100k^4 )\right)\\
&=&κ^4 v^6 \left((5+a^2 (-10k-20k^2 )+a^2 (6+34k+40k^2 )\right.\\
&&+a^2 (-18-60k-50k^2 )\\
&&+a^4 (5k^2+20k^3+20k^4 ))-a^4 (6k+46k^2+108k^3+80k^4 )\\
&&\left.+a^4 (18k+96k^2+170k^3+100k^4 )\right)\\
&=&κ^4 v^6 \left(5+a^2 (-10k-20k^2+6+34k+40k^2-18-60k-50k^2 )\right.\\
&&+a^4 (5k^2+20k^3+20k^4-6k-46k^2-108k^3-80k^4\\
&&\left.+18k+96k^2+170k^3+100k^4 )\right)\\
&=&κ^4 v^6 \left(5+a^2 (+6-18-10k+34k-60k-20k^2+40k^2-50k^2 )\right.\\
&&+a^4 (-6k+18k+5k^2-46k^2+96k^2+20k^3-108k^3+170k^3\\
&&\left.+20k^4-80k^4+100k^4 )\right)\\
&=&κ^4 v^6 \left(5+a^2 (-12-36k-30k^2 )+a^4 (12k+55k^2+82k^3+40k^4 )\right)\\
&=&κ^4 v^6 \left(5-a^2 (12+36k+30k^2 )+a^4 (12k+55k^2+82k^3+40k^4 )\right) \\
&=&κ_0^4 v_0^6 e^{a(4+6k)θ} \left(5-a^2 (12+36k+30k^2 )\right.\\
&&\left.+a^4 (12k+55k^2+82k^3+40k^4 )\right) \tag{22}
\end{eqnarray}
と計算できる。つまり、
\begin{eqnarray}
\frac{λ}{κ_0^4 v_0^6 e^{a(4+6k)θ}}&=&5-a^2 (12+36k+30k^2 )\\
&&+a^4 (12k+55k^2+82k^3+40k^4)\tag{23}\label{eq23}
\end{eqnarray}
を得る。式\ref{eq23}の右辺は\(θ\)によらない定数なので
\begin{equation}
4+6k=0 \tag{24}
\end{equation}
でなければならない。つまり、
\begin{equation}
k=-2/3 \tag{25}
\end{equation}
を得る。つまり、
\begin{equation}
v∝κ^{-2/3} \tag{26}\label{eq26}
\end{equation}
を得る。このとき
\begin{eqnarray}
\frac{λ}{κ_0^4 v_0^6 }&=&5-a^2\left(12+36(-2/3)+30(-2/3)^3\right)\\
&&+a^4\left(12(-2/3)+55(-2/3)^2+82(-2/3)^3+40(-2/3)^4\right)\\
&=&5-\frac{4}{3}a^2+\frac{4}{81}a^4\tag{27}\label{eq27}
\end{eqnarray}
を満たすように\(v_0\)を定める。
さて、Huh and Sejnowski (2015)では、躍度の垂直成分も考慮して式\ref{eq10}ではなく
\begin{equation}
L_{\rm HS}＝κ^4 v^6 \left((\stackrel{..}{z}+\dot{z}\dot{h}+2\dot{z}^2-1)^2+(3\dot{z}+\dot{h})^2+λ\right) \frac{1}{κv} \tag{28}
\end{equation}
をラグランジアンとして使っている。この場合は、式\ref{eq27}は
\begin{eqnarray}
\frac{λ}{κ_0^4 v_0^6 e^{a(4+6k)}} &=&5-a^2 (25+90k+75k^2 )\\
&&+a^4 (12k+55k^2+82k^3+40k^4 ) \tag{29}
\end{eqnarray}
と変更されるが、式\ref{eq26}は変わらない。
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