練習問題3.2の解答
練習問題3.2
\(t=[0,t_{\rm f}]\)の全ての時間で\({\bf Q}={\bf 0}\)が成り立つとき、\({\bf S}＝{\bf 0}\)および\({\bf d}={\bf 0}\)が成立することを示しなさい。
練習問題3.2の解答
まず、終端\(t=t_{\rm f}\)において\({\bf S}={\bf 0}\)である。すなわち
\begin{equation}{\bf S}(t_{\rm f})={\bf 0} \tag{1}\end{equation}
次に、\(t=[0, t_{\rm f}]\)の任意の時刻\(t_1\)において、\({\bf S}={\bf 0}\)であると仮定する。式3-10に\({\bf S}={\bf 0}\)と\({\bf Q}={\bf 0}\)を代入すると
\begin{equation}
\dot{\bf S} =-{\bf A}^{\rm T} {\bf S}-{\bf SA}+{\bf SBR}^{-1}{\bf B}^{\rm T} {\bf S}-{\bf Q}={\bf 0} \tag{2}
\end{equation}
したがって\(t\lt t_1\)において、
\begin{equation}
{\bf S}={\bf 0} \tag{3}
\end{equation}
次に、まず、終端\(t=t_{\rm f}\)において\({\bf d}={\bf 0}\)である。すなわち
\begin{equation}
{\bf d}(t_{\rm f})={\bf 0} \tag{4}
\end{equation}
次に、\(t=[0, t_{\rm f}]\)の任意の時刻\(t_1\)において、\({\bf d}={\bf 0}\)であると仮定する。式3-14に\({\bf S}={\bf 0}\)と\({\bf Q}={\bf 0}\)、\({\bf d}={\bf 0}\)を代入すると
\begin{equation}
\dot{\bf d} =-{\bf A}^{\rm T} {\bf d}+{\bf SBR}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf d}-{\bf Sc}-{\bf SBu}_{\rm m}+{\bf Qz}_{\rm m}={\bf 0} \tag{5}
\end{equation}
したがって\(t\lt t_1\)において、
\begin{equation}
{\bf d}={\bf 0} \tag{6}
\end{equation}
科学はひとつ 宇宙物理学者による知的挑戦の記録
戎崎俊一 著
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12年にわたり「戎崎の科学は一つ」で執筆されてきた記事を精選し、「地震と津波防災」など全9章に再編。すべての章に著者書き下ろしの解説を加えて集成した一冊。
