練習3-1の解答
練習問題3.1
式3を状態方程式、式7を評価関数とする到達問題の最適解が上記の手順1－3（式10‐20）で得られることを示しなさい。
練習3-1の解答
状態（運動）方程式は
\begin{equation}
{∆\dot{\bf z}}= {\bf A}{∆{\bf z}}+{\bf B}{∆{\bf u}}+{\bf c} \tag{1}\label{eq1}
\end{equation}
で与えられる（式3-2）。オイラー・ラグランジュ方程式は
\begin{equation}
\dot{\bf λ}=-{\bf Q}({∆{\bf z}}-{\bf z}_{\rm m} )-{\bf A}^{\rm T} {\bf λ} \tag{2}\label{eq2}
\end{equation}
\begin{equation}
{\bf R}^{\rm T} ({∆{\bf u}}-{\bf u}_{\rm m} )+{\bf B}^{\rm T} {\bf λ}={\bf 0} \tag{3}\label{eq3}
\end{equation}
と与えられる（式3-8と3-9）。これら3つの方程式を連立して解く。未知数は\({∆{\bf z}}(t)∈\Re^n\)、\({∆{\bf u}}(t)∈\Re^m\)、\({\bf λ}(t)∈\Re^n\)でその数は\(2n+m\)個である。一方、方程式の数は式\ref{eq1}が\(n\)本、式\ref{eq2}が\(n\)本、式\ref{eq3}が\(m\)本で全部で\(2n+m\)本存在する。したがって、未知数が方程式の数と一致する。
ここで、\({\bf λ}(t)\)と\({∆{\bf z}}(t_{\rm f})\)を\({∆{\bf z}}(t)\)と\({\bf ν}\)の線形結合で表す。つまり、 \begin{equation} {\bf λ}(t)={\bf S}(t){∆{\bf z}}(t)+{\bf U}(t){\bf ν}+{\bf d}(t) \tag{4} \label{eq4}\end{equation} \begin{eqnarray} {∆{\bf z}}(t_{\rm f})&=&{\bf V}(t){∆{\bf z}}(t)+{\bf W}(t){\bf ν}+{\bf e}(t)\\ &=&{∆{\bf z}}_{\rm f}\\ &=&{\bf z}_{\rm f}-\bar{\bf z} _{\rm f} \tag{5} \label{eq5}\end{eqnarray} とする。ここで、 \begin{equation} {\bf S}(t_{\rm f})={\bf 0},\, {\bf U}(t_{\rm f})={\bf I}_n,\, {\bf V}(t_{\rm f})={\bf I}_n,\, {\bf W}(t_{\rm f})={\bf 0},\, {\bf d}(t_{\rm f})={\bf 0},\, {\bf e}(t_{\rm f})={\bf 0} \tag{6} \end{equation}
とする。これらを式\ref{eq4}に代入すると \begin{equation} {\bf ν}={\bf λ}(t_{\rm f}) \tag{7} \end{equation}
を得る。
次に、式\ref{eq2}に式\ref{eq4}を代入すると \begin{eqnarray} \dot{\bf λ}(t) &=&\dot{({\bf S}(t){∆{\bf z}}(t)+{\bf U}(t){\bf ν}+{\bf d}(t))}\\ & =&-{\bf Q}({∆{\bf z}}(t)-{\bf z}_{\rm m} )-{\bf A}^{\rm T} ({\bf S}(t){∆{\bf z}}(t)+{\bf U}(t){\bf ν}+{\bf d}(t)) \tag{8} \end{eqnarray} を得る。したがって、 \begin{eqnarray} \dot{\bf S} ̇{∆{\bf z}}&+&{\bf S}{∆\dot{\bf z}} ̇+\dot{\bf U}{\bf ν}+\dot{\bf d}\\ &=&-{\bf Q}{∆{\bf z}}-{\bf A}^{\rm T} ({\bf S}{∆{\bf z}}+{\bf Uν}+{\bf d})+{\bf Qz}_{\rm m} \tag{9} \label{eq9}\end{eqnarray} となる。式\ref{eq9}に式\ref{eq1}を代入する。 \begin{eqnarray} {\bf S} ̇{∆{\bf z}}&+&{\bf S}({\bf A}{∆{\bf z}}+{\bf B}{∆{\bf u}}+{\bf c})+\dot{\bf U}{\bf ν}+\dot{\bf d}\\ &=&-{\bf Q}{∆{\bf z}}-{\bf A}^{\rm T} ({\bf S}{∆{\bf z}}+{\bf Uν})-{\bf A}^{\rm T} {\bf d}+{\bf Qz}_{\rm m} \tag{10} \label{eq10}\end{eqnarray} 一方、式\ref{eq3}より \begin{equation} {\bf R}({∆{\bf u}}-{\bf u}_{\rm m} )=-{\bf B}^{\rm T} {\bf λ} \tag{11} \end{equation} である。これを\({∆{\bf u}}\)について解いて、式\ref{eq4}を代入する。 \begin{eqnarray} {∆{\bf u}}&=&-{\bf R}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf λ}+{\bf u}_{\rm m}\\ &=&-{\bf R}^{-1} {\bf B}^{\rm T} ({\bf S}{∆{\bf z}}+{\bf Uν}+{\bf d})+{\bf u}_{\rm m} \tag{12} \label{eq12}\end{eqnarray} 式\ref{eq10}に式\ref{eq12}を代入すると、 \begin{eqnarray} \dot{\bf S} ̇{∆{\bf z}}&+&{\bf SA}{∆{\bf z}}+{\bf SB}(-{\bf R}^{-1} {\bf B}^{\rm T} ({\bf S}{∆{\bf z}}+{\bf Uν}+{\bf d})+{\bf u}_{\rm m} )\\ &+&{\bf Sc}+\dot{\bf d} +\dot{\bf U} {\bf ν}+({\bf Q}+{\bf A}^{\rm T} {\bf S}){∆{\bf z}}+{\bf A}^{\rm T} {\bf Uν}+{\bf A}^{\rm T} {\bf d}-{\bf Qz}_{\rm m}={\bf 0} \tag{13} \end{eqnarray}\({Δ{\bf z}}\)に比例する項、\({\bf ν}\)に比例する項、そのどちらでもない項をまとめると、 \begin{eqnarray} (\dot{\bf S} &+&{\bf A}^{\rm T} {\bf S}+{\bf SA}-{\bf SBR}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf S}+{\bf Q}){∆{\bf z}}\\ &+&(\dot{\bf U}+{\bf A}^{\rm T} {\bf U}-{\bf SBR}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf U}){\bf ν}\\ &+&{\bf SB}(-{\bf R}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf d}+{\bf u}_{\rm m} )+{\bf Sc}+\dot{\bf d}+{\bf A}^{\rm T} {\bf d}-{\bf Qz}_{\bf m}={\bf 0} \tag{14}\label{eq14} \end{eqnarray} を得る。任意の\({∆{\bf z}}\)と\({\bf ν}\)で式\ref{eq14} が成立するために、 \begin{equation} \dot{\bf S} +{\bf A}^{\rm T} {\bf S}+{\bf SA}-{\bf SBR}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf S}+{\bf Q}={\bf 0} \tag{15}\label{eq15} \end{equation} \begin{equation} \dot{\bf U} +{\bf A}^{\rm T} {\bf U}-{\bf SBR}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf U}={\bf 0} \tag{16} \end{equation} \begin{equation} \dot{\bf d} +{\bf SB}(-{\bf R}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf d}+{\bf u}_{\rm m} )+{\bf Sc}+{\bf A}^{\rm T}{\bf d}-{\bf Qz}_{\rm m}={\bf 0} \tag{17}\label{eq17} \end{equation} が成り立つ必要がある。
一方、式\ref{eq5}の両辺を微分すると、 \begin{equation} \dot{\bf V} ̇{∆\dot{\bf z}}+{\bf V}{∆{\bf z}} ̇+{\bf W}\dot{\bf ν}+\dot{\bf e} ={\bf 0} \tag{18} \label{eq18}\end{equation} を得る。式\ref{eq18}に式\ref{eq1}を代入する。 \begin{equation} \dot{\bf V} ̇{∆{\bf z}}+{\bf V}({\bf A}{∆{\bf z}}+{\bf Bu}+{\bf c})+\dot{\bf W} {\bf ν}+\dot{\bf e} ={\bf 0} \tag{19} \end{equation} さらに、式\ref{eq12}を代入する。 \begin{eqnarray} \dot{\bf V} ̇{∆{\bf z}}&+&{\bf VA}{∆{\bf z}}+{\bf VB}(-{\bf R}^{-1} {\bf B}^{\rm T} ({\bf S}{∆{\bf z}}+{\bf Uν}+{\bf d})+{\bf u}_{\rm m} )\\ &+&{\bf Vc}+\dot{\bf W} {\bf ν}+\dot{\bf e} ={\bf 0} \tag{20} \end{eqnarray} \({∆{\bf z}}\)に比例する項、\({\bf ν}\)に比例する項、そのどちらでもない項をまとめると、 \begin{eqnarray} (\dot{\bf V}&+&{\bf VA}-{\bf VBR}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf S}){∆{\bf z}}\\ &+&(\dot{\bf W} -{\bf VBR}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf U}){\bf ν}\\ &+&{\bf VB}(-{\bf R}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf d}+{\bf u}_{\rm m})+{\bf Vc}+\dot{\bf e} ={\bf 0} \tag{21}\label{eq21} \end{eqnarray} 任意の\(\bf z\)と\({\bf ν}\)で式\ref{eq21} が成立するためには、 \begin{equation} \dot{\bf V} ̇+{\bf VA}-{\bf VBR}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf S}={\bf 0} \tag{22} \label{eq22}\end{equation} \begin{equation} \dot{\bf W} -{\bf VBR}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf U}={\bf 0} \tag{23} \end{equation} \begin{equation} \dot{\bf e} +{\bf VB}(-{\bf R}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf d}+{\bf u}_{\rm m} )+{\bf Vc}={\bf 0} \tag{24}\label{eq24} \end{equation} が成り立つ必要がある。ここで、式\ref{eq5}に\(t=0\)を代入する。 \begin{equation} {\bf V}(0){∆{\bf z}}(0)+{\bf W}(0){\bf ν}+{\bf e}(0)={∆{\bf z}}_{\rm f} \tag{25} \end{equation} \({\bf ν}\)について解くと \begin{eqnarray} {\bf ν}&=& -{\bf W}(0)^{-1}({\bf V}(0){∆{\bf z}}(0)+{\bf e}(0)-{∆{\bf z}}_{\rm f})\\ &=&-{\bf W}(0)^{-1} ({\bf V}(0){∆{\bf z}}_0+{\bf e}(0)-{∆{\bf z}}_{\rm f}) \tag{26}\label{eq26} \end{eqnarray} を得る。 一方、式\ref{eq5}を\({∆{\bf z}}(t)\)について解く。 \begin{equation} {∆{\bf z}}(t)=-{\bf V}(t)^{-1} ({\bf W}(t){\bf ν}+{\bf e}(t)-{∆{\bf z}}_{\rm f}) \tag{27}\label{eq27} \end{equation} まとめると、式\ref{eq15}-\ref{eq17}より \begin{equation} \dot{\bf S} =-{\bf A}^{\rm T}{\bf S}-{\bf SA}+{\bf SBR}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf S}-{\bf Q} \tag{28} \end{equation} \begin{equation} \dot{\bf U} =-{\bf A}^{\rm T} {\bf U}+{\bf SBR}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf U} \tag{29} \end{equation} \begin{equation} \dot{\bf d}=-{\bf A}^{\rm T} {\bf d}+{\bf SBR}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf d}-{\bf Sc}-{\bf SBu}_{\rm m}+{\bf Qz}_{\rm m} \tag{30} \end{equation} を得る。さらに、式\ref{eq22}-\ref{eq24}より \begin{equation} \dot{\bf V}=-{\bf VA}+{\bf VBR}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf S} \tag{31} \end{equation} \begin{equation} \dot{\bf W}={\bf VBR}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf U} \tag{32} \end{equation} \begin{equation} \dot{\bf e} ={\bf VBR}^{-1} {\bf B}^{\rm T} {\bf d}-{\bf VBu}_{\rm m}-{\bf Vc} \tag{33} \end{equation} を得る。
次に終端状態と初期状態を再現していることを確認する。式\ref{eq27}に\(t=t_{\rm f}\)を代入して、\({\bf V}(t_{\rm f})={\bf V}(t_{\rm f})^{-1}={\bf I}_n\)、\({\bf W}(t_{\rm f})={\bf 0}、{\bf e}(t_{\rm f} )={\bf 0}\)に注意すると、 \begin{equation} {∆{\bf z}}(t_{\rm f})=-{\bf I}_n ({\bf 0}{\bf ν}+{\bf 0}-{∆{\bf z}}_{\rm f} )={∆{\bf z}}_{\rm f} \tag{34} \end{equation} つまり、終端条件\({∆{\bf z}}_{\rm f}={∆{\bf z}}_{\rm f}\)が成立していることが確認された。また、式\ref{eq27}に\(t=0\)を代入して、式\ref{eq26}を考慮すると \begin{eqnarray} {∆{\bf z}}(0)&=&-{\bf V}(0)^{-1} ({\bf W}(0)(-{\bf W}(0)^{-1} ({\bf V}(0){∆{\bf z}}_0+{\bf e}(0)-{∆{\bf z}}_{\rm f} ))\\ &+&{\bf e}(0)-{∆{\bf z}}_{\rm f} ) \\ &=&-{\bf V}(0)^{-1} (-{\bf W}(0){\bf W}(0)^{-1} ({\bf V}(0){∆{\bf z}}_0+{\bf e}(0)-{∆{\bf z}}_{\rm f} )-{∆{\bf z}}_{\rm f} )\\ &=&-{\bf V}(0)^{-1} (-({\bf V}(0){∆{\bf z_0}}+{\bf e}(0)-{∆{\bf z}}_{\rm f} )+{\bf e}(0)-{∆{\bf z}}_{\rm f} )\\ &=&-{\bf V}(0)^{-1} (-{\bf V}(0){∆{\bf z}}_0-{\bf e}(0)+{∆{\bf z}}_{\rm f}+{\bf e}(0)-{∆{\bf z}}_{\rm f} )\\ &=&{∆{\bf z}}_0 \tag{35} \end{eqnarray} つまり、初期条件\({∆{\bf z}}(0)={∆{\bf z}}_0\)が成立していることが確認された。
科学はひとつ 宇宙物理学者による知的挑戦の記録
戎崎俊一 著
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